재귀 함수(Recursive Function)

재귀 함수(Recursive Function)란 자기 자신을 다시 호출하는 함수를 의미한다. DFS와 BFS를 구현하려면 재귀 함수도 이해하고 있어야 한다. 가장 간단한 재귀 함수는 다음과 같다.

 

def recursive_function():
    print('재귀 함수를 호출합니다.')
    recursive_function()

recursive_function()

 

이 코드를 실행하면 '재귀 함수를 호출합니다.'라는 문자열을 무수히 출력한다. 여기서 정의한 recursive_function()이 자기 자신을 계속해서 추가로 불러오기 때문이다. 물론 어느 정도 출력하다가 다음과 같은 오류 메시지를 출력하고 멈출 것이다.

 

RecursionError: maximum recursion depth exceeded while calling a Python object

 

이 오류 메시지는 재귀(Recursion)의 최대 깊이를 초과했다는 내용이다. 보통 파이썬 인터프리터는 호출 횟수 제한이 있는데 이 한계를 벗어났기 때문이다. 따라서 무한대로 재귀 호출을 진행할 수는 없다(애초에 무한한 재귀 호출을 요구하는 문제 또한 출제되지 않을 것이다).

 

재귀 함수의 종료 조건

재귀 함수를 문제 풀이에서 사용할 때는 재귀 함수가 언제 끝날지, 종료 조건을 꼭 명시해야 한다. 자칫 종료 조건을 명시하지 않으면 함수가 무한히 호출될 수 있다. 예를 들어 다음은 재귀 함수를 100번 호출하도록 작성한 코드이다. 재귀 함수 초반에 등장하는 if문이 종료 조건 역할을 수행한다.

 

def recursive_function(i):
    # 100번째 출력했을 때 종료되도록 종료 조건 명시
    if i == 100:
        return
    print(i, '번째 재귀 함수에서', i + 1, '번째 재귀 함수를 호출합니다.')
    recursive_function(i + 1)
    print(i, '번째 재귀 함수를 종료합니다.')

recursive_function(1)

 

컴퓨터 내부에서 재귀 함수의 수행은 스택 자료구조를 이용한다. 함수를 계속 호출했을 때 가장 마지막에 호출한 함수가 먼저 수행을 끝내야 그 앞의 함수 호출이 종료되기 때문이다. 컴퓨터의 구조 측면에서 보자면 연속해서 호출되는 함수는 메인 메모리의 스택 공간에 적재되므로 재귀 함수는 스택 자료구조와 같다는 말은 틀린 말이 아니다. 재귀 함수는 내부적으로 스택 자료구조와 동일하다는 것만 기억하면 된다. 따라서 스택 자료구조를 활용해야 하는 상당수 알고리즘은 재귀 함수를 이용해서 간편하게 구현될 수 있다. DFS가 대표적인 예이다.

 

재귀 함수를 이용하는 대표적인 예제로는 팩토리얼(Factorial) 문제가 있다. 팩토리얼 기호는 느낌표(!)를 사용하며 n!는 1 × 2 × 3 × ··· × (n - 1) × n을 의미한다. 수학적으로 0!와 1!의 값은 1로 같다는 성질을 이용하여 팩토리얼 함수는 n이 1 이하가 되었을 때 함수를 종료하는 재귀 함수의 형태로 구현할 수 있다.

 

팩토리얼을 반복적으로 구현한 방식과 재귀적으로 구현한 두 방식을 비교해보자. 소스코드는 다음과 같다. (소스코드를 반복적으로 구현한다는 말은 반복문을 이용한다는 의미이며, 흔히 재귀적으로 구현한다는 말과 대비되는 의미로 사용된다.)

 

# 반복적으로 구현한 n!
def factorial_iterative(n):
    result = 1
    # 1부터 n까지의 수를 차례대로 곱하기
    for i in range(1, n + 1):
        result *= i
    return result

# 재귀적으로 구현한 n!
def factorial_recursive(n):
    if n <= 1:      # n이 1 이하인 경우 1을 반환
        return 1
    # n! = n * (n - 1)!를 그대로 코드로 작성하기
    return n * factorial_recursive(n - 1)

# 각각의 방식으로 구현한 n! 출력(n = 5)
print('반복적으로 구현:', factorial_iterative(5))
print('재귀적으로 구현:', factorial_recursive(5))

 

실행 결과는 동일하다. 그렇다면 반복문 대신에 재귀 함수를 사용했을 때 얻을 수 있는 장점은 무엇일까?

 

위의 코드를 비교했을 때 재귀 함수의 코드가 더 간결한 것을 알 수 있다. 이렇게 간결해진 이유는 재귀 함수가 수학의 점화식(재귀식)을 그대로 소스코드로 옮겼기 때문이다. 수학에서 점화식은 특정한 함수를 자신보다 더 작은 변수에 대한 함수와의 관계로 표현한 것을 의미한다.

 

팩토리얼을 수학적 점화식으로 표현해보면 다음과 같다.

 

1. n이 0 혹은 1일 때: factorial(n) = 1
2. n이 1보다 클 때: factorial(n) = n × factorial(n - 1)

일반적으로 우리는 점화식에서 종료 조건을 찾을 수 있는데, 앞 예시에서 종료 조건은 'n이 0 혹은 1일 때'이다. 팩토리얼은 n이 양의 정수일 때에만 유효하기 때문에 n이 1 이하인 경우 1을 반환할 수 있도록 재귀 함수를 작성해야 한다. n이 1 이하인 경우를 고려하지 않으면 재귀 함수가 무한히 반복되어 결과를 출력하지 못할 것이다. 또한 n의 값으로 음수가 들어왔을 때는 입력 범위 오류로, 오류 메시지를 띄우도록 코드를 작성할 수도 있다. 따라서 재귀 함수 내에서 특정 조건일 때 더 이상 재귀적으로 함수를 호출하지 않도록 if문을 이용하여 꼭 종료 조건을 구현해주어야 한다.

 

 

 

 

 

[참고문헌]

나동빈, 2021, 「이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬」, 한빛미디어.